古法割圆与极限方法求面积

在许多微积分教材中，介绍微积分起源时，都会提到古希腊的「穷竭法」以及中国古代的「割圆术」。这两种方法，都是在人类尚未掌握现代代数与极限理论之前，为了解决“圆的面积如何计算”这一问题所提出的巧妙方案。

圆的面积难以直接计算，于是古人采用了一种非常自然的想法：

如果一个图形不好算，那就把它拆成许多容易计算的小图形。

在割圆术中，这些“小图形”就是三角形或多边形。随着拆分得越来越细，计算结果也就越来越接近真正的圆面积。

面积问题与穷竭法

回到两千多年前，当时的数学工具远不如今天丰富。可以合理推测，古人至少掌握了以下几类知识：

• 三角形面积的计算方法
• 角的二等分
• 使用几何方法对平方根进行近似计算，例如 $\sqrt{2}\approx 1.414$

在这样的条件下，穷竭法必须满足两个要求：

1. 每一步都只使用初等几何
2. 能够不断重复、逐步改进结果

用正多边形逼近圆

设圆的半径为 $r$。一个内接于圆的正 $n$ 边形，可以被自然地分解为 $n$ 个全等的等腰三角形，它们的顶点都在圆心。

因此，正 $n$ 边形的面积可以写成：

$$S_n=n\times (\text{单个等腰三角形的面积})$$

而单个等腰三角形的面积为：

$$\frac{1}{2}\times (\text{底边})\times (\text{高})$$

也就是说，只要知道：

• 边长 $a_n$
• 对应的高 $h_n$

等腰三角形的高使用勾股定理计算：

$$h_n=\sqrt{r^2-{\left(\frac{a_n}{2}\right)}^2}$$

因此，只要能够递推地计算出边长 $a_n$，圆面积的近似值也就随之确定了。

边数加倍：割圆术的关键一步

以上图为例，考虑如何由正 $n$ 边形的边长 $a_n$，计算正 $2n$ 边形的边长。

取正 $n$ 边形的一条边 $AB$，其对应的等腰三角形为 $\mathrm{△}AOB$。设 $M$ 为 $AB$ 的中点，则有：

• $OM\perp AB$
• $AM={\displaystyle \frac{a_n}{2}}$

在直角三角形 $\mathrm{△}OMA$ 中：

$$OM=\sqrt{r^2-{\left(\frac{a_n}{2}\right)}^2}$$

延长 $OM$ 与圆交于 $C$，则：

$$MC=r-OM$$

又由于 $\mathrm{△}AMC$ 也是直角三角形，其斜边正是正 $2n$ 边形的一条边 $AC$，于是有：

$$\begin{array}{rl}{a}_{2n}^2& =A{M}^2+M{C}^2\\ & ={\left(\frac{a_n}{2}\right)}^2+{(r-\sqrt{r^2-{\left(\frac{a_n}{2}\right)}^2})}^2\\ & =2r^2-2r\sqrt{r^2-{\left(\frac{a_n}{2}\right)}^2}\end{array}$$

在取 $r=1$ 的情况下，上式化为：

$$a_{2n}=\sqrt{2-2\sqrt{1-{\left(\frac{a_n}{2}\right)}^2}}$$

割圆术的数值逼近

正六边形恰好可以内接于单位圆，其边长等于半径，即 $a_6=1$。因此，可以以正六边形为起点，每次将边数加倍，递推计算边长，并由此计算面积。正 $n$ 边形的面积公式为：

$$S_n=\frac{n}{2}{a}_n\sqrt{1-{\left(\frac{a_n}{2}\right)}^2}$$

计算结果如下：

n	边长	面积
6	1	2.598076211353316
12	0.5176380902050415	3
24	0.26105238444010315	3.1058285412302484
48	0.1308062584602861	3.1326286132812373
96	0.06543816564355226	3.1393502030468663
192	0.03272346325297355	3.141031950890509
384	0.016362279207874253	3.141452472285461

可以看到，仅通过 6 次“割圆”，所得结果已经与圆面积非常接近。

用极限重新理解这件事

穷竭法已经非常成功，但它仍然有一个明显的局限：

它永远停留在“算到第几步”。

即使算得再多，也只能说“已经非常接近”，却无法说“已经得到精确值”。微积分中的极限，正是对这一问题的根本回应。

一个关键事实：当角度很小时

当角度 $x$ 非常小时，弧长（$\stackrel{⌢}{AB}$）、正弦值（$AB$）和正切值（$CT$）在数量级上几乎没有区别：

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{\tan x}{x}=1$$

或者说 $x\sim \sin x\sim \tan x$。

1. 斯图尔特微积分是在第三章导数章节才开始证明该极限 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}=1$。
2. 斯图尔特微积分并没有讲到等价无穷小，但是借助极限运算法则不难导出上述结论。

几何上可以理解为：当多边形的边数足够多时，每一条边对应的圆弧已经“短到分不出来”。

内接多边形的极限

设圆半径为 $r$，内接正 $n$ 边形的面积可表示为：

$$S_n^{\text{内}}=n\cdot \frac{1}{2}\cdot r\cdot r\sin \frac{2\pi }{n}$$

当 $n\to \mathrm{\infty }$ 时，该多边形在几何意义上趋近于圆。

这个极限得用换元法去计算。令 $x={\displaystyle \frac{2\pi }{n}}$，则 $n={\displaystyle \frac{2\pi }{x}}$，并有 $x\to 0$。

代入可得：

$$\begin{array}{rl}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_n^{\text{内}}& =\frac{r^2}{2}\underset{x\to 0}{lim}\frac{2\pi }{x}\sin x\\ & =\pi r^2\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}\\ & =\pi r^2\end{array}$$

外切多边形的极限

严格来说，仅由内接多边形只能说明圆面积的下界。还需要考察外切多边形。

外切正 $n$ 边形的面积为：

$$S_n^{\text{外}}=n\cdot \frac{1}{2}\cdot r\cdot \tan \frac{2\pi }{n}$$

同样令 $x={\displaystyle \frac{2\pi }{n}}$，则：

$$\begin{array}{rl}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_n^{\text{外}}& =\pi r^2\underset{x\to 0}{lim}\frac{\tan x}{x}\\ & =\pi r^2\end{array}$$

内接多边形从下方逼近，外切多边形从上方逼近，二者极限一致，从而确立了圆面积的唯一值：$\pi r^2$。

从穷竭到极限：思想上的跃迁

从结果上看，穷竭法与极限法似乎做的是同一件事：不断细分、不断逼近。但二者在思想层面存在着本质区别。

穷竭法：是一种过程性的逼近。它告诉我们“可以无限接近”，但每一步都仍然是一个具体的、有限的计算，结果永远停留在“近似”。

而极限方法：不再关心你“算到了第几步”，而是直接刻画“当步数无限增大时，整体行为趋向于什么”。

换言之，极限不是更快的穷竭，而是对穷竭思想的一次概念升维。正是在这种意义下，极限成为微积分的基石。它使得“研究变化”“研究无限细分”不再依赖具体的操作过程，而可以被压缩为一个确定、可推理、可复用的数学对象。这正是微积分超越初等数学的根本原因。